時間に関する 1 階の線形偏微分方程式を数値計算したもの.
- 陽解法
- この解法は, 時間ステップより空間ステップの間隔を大きくしなければ安定しないという性質がある.
- 空間差分は, 中心差分近似を用いた.
- ソースプログラム1
- 計算条件
- 境界条件は固定端, 初期条件は端以外すべて 1 で均一の値をもっているとする.
- 結果
- ソースプログラム2
- 計算条件
- 境界条件は断熱, 初期条件は x=0.5 にピークをもつガウス関数型.
- 結果
- 陰解法(クランクニコルソン法)
- この解法は時間と空間の刻み幅にどのような値を用いても常に安定であることがわかっている.
- 空間差分は, 中心差分近似を用いた.
- ソースプログラム1
- 計算条件
- 境界条件は固定端, 初期条件は x=0.5 にピークをもつガウス関数型.
- 結果
- 陽解法
- この解法は, 時間ステップより空間ステップの間隔を大きくしなければ安定しないという性質がある.
- 空間差分は, 中心差分近似を用いた.
- ソースプログラム1
- 計算条件
- 境界条件は固定端, 初期条件は端以外すべて 1 で均一の値をもっているとする.
- 結果
- ソースプログラム2
- 計算条件
- 境界条件は断熱, 初期条件は x=0.5, y=0.5 にピークをもつガウス関数型.
- 結果
- ちなみに, DCL の練習として, 3 次元での熱伝導の様子をアニメーションにした
- 固定端
- 初期条件は端以外がすべて 1 の平坦な値.
- ソースファイルは こちら .
- 断熱
- 初期条件は中心に山のあるガウス関数型.
- ソースファイルは こちら .
- どちらも, 上のソースプログラムにおける計算とは異なるパラメータを使用しているため, 2 次元のアニメーションとは一致しないことに注意されたい.
時間に関する 1 階の線形偏微分方程式を数値計算したもの.
- 陽解法
- この解法は, 時間ステップより空間ステップの間隔を大きくしなければ安定しないという性質がある.
- 空間差分は, 風上差分を用いた.
- また, 近似の計算誤差によって, 拡散項がないにも関わらず, 時間とともに振幅が拡散する (要改善).
- ソースプログラム1
- 計算条件
- 境界条件は周期境界, 初期条件は x=0.5 にピークをもつガウス関数型.
- 結果
- ソースプログラム2
- 計算条件
- 境界条件は断熱, 初期条件は x=0.2,0.8 にピークの異なる山をもつガウス関数型.
- 結果
ここでは, 流体力学の基礎方程式であるナビエーストークス方程式の移流項でおなじみの非線形項を 1 次元で計算する.
- 陽解法
- 空間差分は, 風上差分を用いた.
- ソースプログラム1
- 計算条件
- 境界条件は周期境界. x=0.5 にピークをもつガウス関数型.
- 結果
移流方程式の周期境界条件の設定に関して, 同研究室の西澤さん, 佐々木さんから多くのご助言をいただきました. ここに御礼申し上げます.
- 陽解法
- 空間差分は, 風上差分を用いた.
- ソースプログラム1
- 計算条件
- 境界条件は周期境界, 初期条件は x=0.5 にピークをもつガウス関数型.
- 移流速度は, x,y 方向ともに一定で同じ大きさ.
- 結果
- 3 次元アニメーション
- 陽解法
- 空間差分は, 風上差分を用いた.
- ソースプログラム1
- 計算条件
- 境界条件は周期境界, 初期条件は x=0.5 にピークをもつガウス関数型.
- 移流速度は, x,y 方向ともに一定で同じ大きさ.
- 結果
- 3 次元アニメーション
- 結果
- 非線形での突っ立ちがわかるように視点を右に 90 °回して表示した.
- ソースファイルは こちら .
時間に関する 1 階の線形偏微分方程式について, 移流項と拡散項をもった方程式.
- 陽解法
- 空間差分は, 移流項については風上差分を, 拡散項については中央差分を用いた.
- ソースプログラム
- 計算条件
- 境界条件は周期境界, 初期条件は x=0.5 にピークをもつガウス関数型.
- 結果
ここでは, 流体力学の基礎方程式であるナビエーストークス方程式に関して, 外力項を拡散のみに限定した方程式を計算する. (この方程式をバーガース方程式ともいう)
- 陽解法
- 空間差分は, 移流項については風上差分を, 拡散項については中央差分を用いた.
- ソースプログラム
- 計算条件
- 境界条件は周期境界. x=0.5 にピークをもつガウス関数型.
- 結果
時間に関する 2 階の線形偏微分方程式を数値計算したもの.
- 陽解法
- この解法は, 時間ステップより空間ステップの間隔を大きくしなければ安定しないという性質がある.
- 空間差分は, 中心差分近似を用いた.
- ソースプログラム1
- 計算条件
- 境界条件は固定端, 初期条件は x=0.5, y=0.5 にピークをもつガウス関数型.
- 結果
- ソースプログラム2
- 計算条件
- 境界条件は断熱, 初期条件は x=0.5, y=0.5 にピークをもつガウス関数型.
- 結果
- DCL の練習として, 3 次元アニメーションを作成した.
- 固定端
- 自由端
- 初期条件はどちらも中心に山のあるガウス関数型.
- これたのアニメーションは上で示した 2 次元のアニメーションといくらか異なるパラメータを使用しているため, 2 次元のものとは完全には一致しないことに注意.
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